Introdução à geometria analítica 

Introdução à geometria analítica do plano A essência da geometria analítica (não estamos ainda a restringir-nos ao plano) está no uso de métodos algébricos para resolução de problemas geométricos. Este método trouxe a fusão do pensar puramente geométrico (também denominado método sintético) com o pensar algébrico. Por essa razão, na geometria analítica estaremos sempre perante situações que nos levam a raciocinar geométrica e algebricamente. A apresentação marcante do método analítico para a resolução de
problemas geométricos é atribuída ao matemático francês Renê Descartes (1596-1650), na sua obra Discurso do Método, publicada em 1637. Foi Descartes quem introduziu o sistema de coordenadas cartesiano, com o qual já trabalhaste nas classes anteriores. Neste capitulo, usaremos sempre o sistema de coordenadas cartesianas, pois nunca trataremos a geometria analítica sem fazer uso de um sistema de referência.
Aplicação de vectores
Um dos conceitos básicos em álgebra linear, que nos vai mudar a estudara geome-tria analítica do plano, é o de espaço vectorial ou espaço linear. Comecemos por apresentar o elemento fundamental do espaço vectorial - o vector. Um vector é um elemento geométrico que fica definido pela sua magnitude (ou comprimento), direcção e sentido.

Simbolizaremos um vector com letra minúscula com seta por cirna da letra. Por exemplo, na figura 1, o vector é simbolizado por V. Em alguns casos, os vectores são designados pelas feiras que definem as suas extremidades; por exemplo, OP, onde o ponto O é a origem do vector e P é a extremidade_ O comprimento ou magnitude (também denominado valor absoluto ou módulo) do vector é simbolizado por IP1 ou por 11;11.

Vector unitário
Dizemos que um vector 11 é unitário se o seu comprimento é 1. Se  não é o vector nulo, então o vector S.; é o vector unitário 11;11 Ilall na direção de til. Qualquer vector na direção de ;, de mesmo sentido ou sentido oposto, é um múltiplo escalar deste vector unitário ú.
Vectores colineares
Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. Também podemos designar vectores colineares aqueles que têm: mesmo sentido, direcção, e mesma norma.
Coordenadas de um vector
Se a origem de um sistema de coordenadas xy coincide com a origem do vector, verifica-se que este vector é iguala soma dos vectores formados pelas suas projecções em cada eixo.



Espaço vectorial plana
Seja R o conjunto dos números reais e V um conjunto não vazio de vectores em que se verificam as seguintes regras de operação, relativas à adição e à multiplicação por número real,
Então V chama-se espaço vectorial sobre R se se cumprem as regras seguintes.
Em relação à adição: a adição de vectores é associativa ou seja, na adição de vectores existe o elemento neutro. Na adição de vectores existe o elemento simétrico, ou seja, a adição de vectores é comutativa.

Em relação à multiplicação: Estas regras são aplicadas num espaço vectorial de qualquer dimensão. Uma vez que estamos a estudar a geometria analítica do plano, iremos trabalhar no espaço vectorial planar, ou seja, no espaço vectorial de duas dimensões.